Es un método sistematizado de coeficientes separados. Este método es más estructurado para efectuarse mediante algoritmos de computadora.
Para dividir por este método hay que tener en cuenta lo siguiente:
1. Todos los polinomios, tanto dividendo, divisor, cociente y residuo, deben ser polinomios completos y ordenados con respecto a la variable en referencia.
Si faltase algún término, se completará pero con coeficiente cero.
Así, si D(x)=52+3x5 -7x+9 se debe escribir comoD(x)=3x5+0x4+ox3+52 -7x+9.
Il. Se utilizarán solo los coeficientes, es decir 3; O; O; 5; -7; 9.
IlI. Se distribuyen los coeficientes tanto del dividendo, divisor, cociente y residuo en el esquema de Horner.
DIFERENCIA DE CUADRADOS Un binomio de la forma a2 - b2 se conoce como diferencia de cuadrados. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raíz cuadrada) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorización de una diferencia de cuadrados es la identidad algebraica a2 - b2 = (a + b)(a - b) Ejemplo 1. x2 - 9. El primer término es un cuadrado,tiene signo positivo y su raíz cuadrada es x. El segundo término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raíz cuadrada (sin considerar el signo) es 3. la factorización queda:x2 - 9= (x + 3)(x - 3) Ejemplo 2 . -25s2 + 4. El primer término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raiz cuadrada (sin considerar el signo) es 5s. El segundo término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2. Como el primer término es negativo se debe escribir después del segundo término para que la expresión quede en forma de diferencia. La factorización queda:-25s2 + 4 = 4 - 25s2 = (2 + 5s)(2 - 5s) DIFERENCIA DE CUBOS Un binomio de la forma a3 - b3 se conoce como diferencia de cubos. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cubos (o sea, que se pueda obtener su raíz cúbica) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorización de una diferencia de cubos se realiza usando la identidad algebraica a3 - b3 =(a2 + ab + b2)(a - b) Ejemplo 1.x3 - 27 El primer término es un cubo,tiene signo positivo y su raíz cúbica es x. El segundo término es un cubo, tiene signo negativo y su raíz cúbica (sin considerar el signo) es3. la factorización queda: x3 - 27 = ((x)2 + (x)(3) + (3)2)(x - 3) x3 - 27 = (x2 + 3x + 9)(x - 3) Ejemplo 2. -125p3 + 8. El primer término es un cubo, tiene signo negativo y su raíz cúbica (sin considerar el signo) es5p. El segundo término es un cubo, tiene signo positivo y su raíz cúbica es 2. Como el primer término es negativo se debe escribir después del segundo término para que la expresión quede en forma de diferencia. La factorización queda: - 125p3 + 8 = 8 - 125p3 =((2)2 + (2)(5p) + (5p)2)(2 - 5p) - 125p3 + 8 = 8 - 125p3 = (4 + 10p + 25p2)(2 - 5p) SUMA DE CUBOS Un binomio de la forma a3 + b3 se conoce como suma de cubos. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cubos (o sea, que se pueda obtener su raíz cúbica) y que los dos términos tengan el mismo signo. Si el signo de los términos es negativo se debe sacar el factor -1 y después factorizar la suma. La factorización de una suma de cubos se realiza usando la identidad algebraica a3 + b3 = (a2 - ab + b2)(a + b) Ejemplo 1. x3 + 27. El primer término es un cubo, tiene signo positivo y su raíz cúbica es x. • El segundo término es un cubo, tiene signo positivo y su raíz cúbica es 3. La factorización queda: x3 + 27 = ((x)2 - (x)(3) + (3)2)(x + 3) x3 + 27 = (x2 - 3x + 9)(x + 3) Ejemplo 2. 125q3 - 8 El primer término es un cubo, tiene signo negativo y su raiz cúbica (sin considerar el signo) es5q. El segundo término es un cubo, tiene signo negativo y su raiz cúbica (sin considerar el signo) es2. Como los términos son negativos se debe extraer el factor -1 y expresar el otro factor como suma de cubos. La factorización queda: - 125q3 - 8 = -(125q3 + 8) = -((5q)2 - (5q)(2) + (2)2)(5q + 2) - 125q3 - 8 = -(125q3 + 8) = -(25q2 - 10q + 4)(5q + 2) TALLER FACTOR COMÚN MONOMIO 8a-4b+16c+12d 7x2+11x3-4x5+3x4-x8 9x3-6x2+12x5-18x7 4/3x-8/9x3+16/15x7-2/3x5 9x2ab-3xa2b3+x2az 3(x+1)-5x(x+1)+x2(x+1)
Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.
Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.
Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.
Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3
Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.
Descomposición de números naturales en sus factores primos
Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas:
20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5
En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.
Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.
En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.
Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denominaprimo.
Factorización y productos notables
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.
Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión ab2 + 3cb - b3 podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c - b2) (1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:
ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:
Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:
ab2 + 3cb - b3 = b (b (a - b) + 3c)
ab2 + 3cb - b3 = b (ab - b2 + 3c)
ab2 + 3cb - b3 = b (ab +3c –b2)
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables.
En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables, es necesario recordar la forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se dividen simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en orden ascendente, y desechando los números primos por los cuales no se pueda hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila) según el arreglo mostrado a continuación.
El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden dividirse simultáneamente por algún número primo.
El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha:
56
42
28
÷
2
28
21
14
÷
7
4
3
2
Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se divide cada uno de estos números por 2, escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamentepor 3, este número primo se desecha.
De forma similar se desecha el 5.
El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los números 4, 3 y 2.
Esta última fila nopuede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el producto de los números primos de la derecha: 2 • 7 = 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el máximo común divisor de los números 56, 42 y 28 es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12z
Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.
Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca.
Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables comunes en los tres términos tenemos:
9x + 6y - 12z = 3(3x + 2y - 4z)
es decir 9x + 6y - 12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y - 4z.
Ejemplo: Factorizar 9xy2 + 6y4- 12 y3z
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres términos. La menor potencia común es y2 por lo tanto la factorización queda:
9xy2 + 6y4- 12y3z = 3y2(3x + 2y2- 4yz)
Los factores en este caso son 3x + 2y2- 4yz y 3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresión original:
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) =x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b)x + abdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b)x – abdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a + b)x + abdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
Cociente de la diferencia de el cuadrado de dos cantidades entre la suma de estas cantidades.
X2 - Y2= x - y
x + y
el cociente de la diferencia del cuadrado de dos cantidades entre
la suma de estas cantidades es igual a la diferencia de estas cantidades
Cociente de la diferencia de el cuadrado de dos cantidades entre la diferencia de estas cantidades.
X2 - Y2= x+ y
x - y
el cociente de la diferencia del cuadrado de dos cantidades entre
la diferencia de estas cantidades es igual a la suma de estas cantidades
Cociente de la suma de el cubo de dos cantidades entre la suma de estas cantidades.
X3 + Y3= X2 - xy +y2
x + y
el cociente de la suma del cubo de dos cantidades dividida entre la suma de estas cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el producto de estas, más el cuadrado de la segunda
Cociente de la diferencia de el cubo de dos cantidades entre la diferencia de estas cantidades.
X3 - Y3= X2 + xy +y2
x - y
el cociente de la diferencia del cubo de dos cantidades dividida
entre la diferencia de estas cantidades es igual al cuadrado de la primeramásel producto de estas, más el cuadrado de la segunda
